【题目】已知椭圆(
)的左、右焦点分别为
,
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线
与椭圆
有两个不同交点
时,能在直线
上找到一点
,在椭圆
上找到一点
,满足
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)不存在,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)由焦点坐标可得,再根据
及点
在椭圆
上,可得
,进而可得椭圆的方程;(2)设直线
的方程为
,与椭圆方程联立可得
,与判别式为正可得
,再根据平行四边形性质及韦达定理可得点
的纵坐标范围是
,可判定点
不在椭圆上,所以这样的直线
不存在.
试题解析:(1)设椭圆的焦距为
,则
,
因此椭圆方程为
在椭圆上,
解得
故椭圆的方程为
.
(2)假设存在这样的直线 设直线的方程为
,
设,
,
,
,
的中点为
,
由得
,
所以,且
,则
,
由知四边形
为平行四边形,
而为线段
的中点,因此,
也是线段
的中点,
所以,可得
,
又,所以
,
因此点不在椭圆上.
所以这样的直线l不存在
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题,属于难题.解决存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在,注意:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法题很难时采取另外的途径.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校高一学生共有500人,为了了解学生的历史学习情况,随机抽取了50名学生,对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计,得到频率分布直方图如图所示,后三组频数成等比数列.
(1)求第五、六组的频数,补全频率分布直方图;
(2)若每组数据用该组区间中点值(例如区间[70,80)的中点值是
75作为代表,试估计该校高一学生历史成绩的平均分;
(3)估计该校高一学生历史成绩在70~100分范围内的人数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆为参数
和直线
其中
为参数,
为直线
的倾斜角
.
(1)当时,求圆上的点到直线
的距离的最小值;
(2)当直线与圆
有公共点时,求
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥V﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱VA⊥底面ABCD,点E为VA的中点.
(Ⅰ)求证:VC∥平面BED;
(Ⅱ)求证:平面VAC⊥平面BED.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线l过点P(0,2),斜率为k,圆Q:x2+y2﹣12x+32=0.
(1)若直线l和圆相切,求直线l的方程;
(2)若直线l和圆交于A、B两个不同的点,问是否存在常数k,使得+
与
共线?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计
的值:先请200名同学,每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m来估计
的值.假如统计结果是m=56,那么可以估计
__________.(用分数表示)
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【题目】已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆
过点
,离心率为
,
,
是椭圆
的长轴的两个端点(
位于
右侧),
是椭圆在
轴正半轴上的顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在经过点且斜率为
的直线
与椭圆
交于不同两点
和
,使得向量
与
共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】命题p:函数y=log2(x2﹣2x)的单调增区间是[1,+∞),命题q:函数y=的值域为(0,1),下列命题是真命题的为( )
A.p∧q
B.p∨q
C.p∧(¬q)
D.¬q
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