Question

5．函数g（x）=ax³+2x²+3ax在区间（-∞，$\frac{a}{3}$）内单凋递减，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． [$-\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]
• C． （-∞，-$\frac{2}{3}$]
• D． （-∞，-$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 求导数得到g′（x）=3ax²+4x+3a，根据题意便有g′（x）≤0在（$-∞，\frac{a}{3}$）上恒成立，从而得出a≤0，可看出a=0满足题意，而a＜0时，可设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x₁，0），B（x₂，0），从而得到${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3a}，{x}_{1}{x}_{2}=1$，这样即可解出${x}_{1}=-\frac{2}{3a}-\sqrt{\frac{4}{9{a}^{2}}-1}$，根据题意有$\frac{a}{3}≤{x}_{1}$，这样便可得出a＜0，合并a=0即可得出a的取值范围．

解答 解：g′（x）=3ax²+4x+3a；
∵g（x）在$（-∞，\frac{a}{3}）$内单调递减；
∴g′（x）≤0在（$-∞，\frac{a}{3}$）上恒成立；
①a=0时，显然满足题意；
②a＞0时，显然不满足题意；
③a＜0时，设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x₁，0），B（x₂，0），则：
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3a}，{x}_{1}{x}_{2}=1$；
∴x₁，x₂均为正数，若使函数g（x）=ax³+2x²+3ax在区间（-∞，$\frac{a}{3}$）内单凋递减，
∴只需$g′（\frac{a}{3}）=\frac{{a}^{3}}{3}+\frac{13}{3}a=a（\frac{{a}^{2}}{3}+\frac{13}{3}）＜0$
∴a＜0；
∴综上得，a的取值范围为（-∞，0]．
故选：A．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，韦达定理，以及一元二次方程的求根公式，无理不等式的解法，要熟悉二次函数的图象．