Question

15．若点P（x，y）在曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数，θ∈R）上，则$\frac{y}{x-1}$的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 求出曲线的参数方程，则$\frac{y}{x-1}$表示去上的点与（1，0）连线的斜率．求出过点（1，0）的曲线的切线斜率即为$\frac{y}{x-1}$的最值．

解答 解：曲线的普通方程为（x+1）²+y²=1，
过点A（1，0）作圆（x+1）²+y²=1的切线，设切线的斜率为k，
则切线方程为y=kx-k，即kx-y-k=0．
∴圆心（-1，0）到切线的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵P在圆上，∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k_PA≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{y}{x-1}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，