Question

10．已知函数f（x）=2（sinx+cosx）-sinxcosx-2（x∈R），则f（x）的最大值为$\frac{{4\sqrt{2}-5}}{2}$．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，再利用二次函数的性质求得函数的最大值．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得t²=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
函数f（x）=2（sinx+cosx）-sinxcosx-2=2t-$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t²-4t）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{1}{2}$，
故当t=$\sqrt{2}$时，函数f（x）取得最大值为-$\frac{1}{2}$•${（\sqrt{2}-2）}^{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}-5}{2}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}-5}{2}$．

点评 本题主要考查求三角函数的最值，用t表示函数的解析式，是解题的关键，属于中档题．