Question

19．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF₁F₂面积的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+1（m∈R）交椭圆E于A、B两点，试探究：点M（3，0）与以线段AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 解法一：（Ⅰ）由已知有${（{S_{△P{F_1}{F_2}}}）_{max}}=\frac{1}{2}×2c×b=bc=2$，$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒a=\sqrt{2}c$，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为H（x₀，y₀），把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，比较$\frac{|AB{|}^{2}}{4}$与|MH|²即可得出．
解法二：（II）利用数量积运算性质、向量夹角公式可得∠AMB为锐角，即可得出位置关系．

解答 解法一：（Ⅰ）由已知有${（{S_{△P{F_1}{F_2}}}）_{max}}=\frac{1}{2}×2c×b=bc=2$，…（1分）
∵$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒a=\sqrt{2}c$，又a²=b²+c²，∴$b=c=\sqrt{2}$，∴a=2，…（3分）
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；           …（4分）
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为H（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.⇒（{m^2}+2）{y^2}+2my-3=0$，…（5分）
∴${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+2}}$，∴${y_0}=\frac{-m}{{{m^2}+2}}$，…（6分）
∴${|{MH}|^2}={（{x_0}-3）^2}+y_0^2={（m{y_0}-2）^2}+y_0^2=（{m^2}+1）y_0^2-4m{y_0}+4$，…（7分）
$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{4}=\frac{{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}}{4}=\frac{{（1+{m^2}）{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}}{4}=\frac{{（1+{m^2}）[{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}]}}{4}$=$（1+{m^2}）（y_0^2-{y_1}{y_2}）$，…（9分）
∴$|MH{|}^{2}-\frac{|AB{|}^{2}}{4}$=-4my₀+4（1+m²）y₁y₂=$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$+4+$\frac{-12（1+{m}^{2}）}{{m}^{2}+2}$=$\frac{5（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$＞0，
∴$|{MH}|＞\frac{{|{AB}|}}{2}$，
因此，点M（3，0）在以线段AB为直径的圆外．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.⇒（{m^2}+2）{y^2}+2my-3=0$，∴${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+2}}$，
…（6分）
∵$\overrightarrow{MA}=（{x_1}-3，{y_1}）$，$\overrightarrow{MB}=（{x_2}-3，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4=$\frac{-3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$+4=$\frac{5（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$＞0，（10分）
∴$cos＜\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}）＞0$，又$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$不共线，∴∠AMB为锐角，…（11分）
因此，点M（3，0）在以AB为直径的圆外． …（12分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、向量数量积运算性质、向量夹角公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．