Question

9．用定积分的几何意义求${∫}_{a}^{b}$$\sqrt{-（x-a）（x-b）}$dx的值（b＞a）．

Answer 1

分析 根据定积分几何意义转化为求对应曲线围成的面积即可．

解答 解：y=$\sqrt{-（x-a）（x-b）}$，a≤x≤b，
∴y²=-（x-a）（x-b），
∴（x-$\frac{a+b}{2}$）²+y²=（$\frac{b-a}{2}$）²，
则表示以（$\frac{a+b}{2}$，0）为圆心，以$\frac{b-a}{2}$为半径的圆，
∴${∫}_{a}^{b}$$\sqrt{-（x-a）（x-b）}$dx表示圆的面积的二分之一，
∴${∫}_{a}^{b}$$\sqrt{-（x-a）（x-b）}$dx=$\frac{1}{2}$π（$\frac{b-a}{2}$）²=$\frac{π（b-a）^{2}}{8}$

点评 本题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的标准方程，考查考查数形结合思想．属于基础题．