Question

4．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是线段AB，CC₁的中点，∨MB₁P的顶点P在棱CC₁与棱C₁D₁上运动，有以下四个命题：
①平面MB₁P⊥ND₁
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁
③∨MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
④△MB₁P在侧面DD₁C₁C上的射影图形是三角形．
其中正确的命题序号是（　　）

• A． ①
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 由正方体的几何性质对四个命题时行判断，戡别正误，①平面MB₁P⊥ND₁；可用极限位置判断，②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以证明MB₁⊥平面ND₁A₁；③△MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影到MB的距离不变即可证得；④△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是三角形，由图形判断即可．

解答 解：在①中，平面MB₁P⊥ND₁；可用极限位置判断，当P与N重合时，MB₁P⊥ND₁垂直不成立，
故线面不可能垂直，此命题是错误命题；
在②中，平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以证明MB₁⊥平面ND₁A₁，
由图形知MB₁与ND₁和D₁A₁都垂直，故可证得MB₁⊥平面ND₁A₁，
进而可得平面MB₁P⊥平面ND₁A₁，故是正确命题；
在③中，△MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，
可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影在DC上，
故其到MB的距离不变即可证得，故命题正确；
在④中，△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是三角形，
由于P与C₁重合时，P、B₁两点的投影重合，不能构成三角形，故命题错误．
综上②③正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．