Question

2．△ABC的三边a，b，c成等差数列，则角B的范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{π}{3}}]$
• B． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$
• C． $[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$
• D． $（{0，\frac{π}{2}}）$

Answer 1

分析 设出三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列，利用等差数列的性质可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围．

解答 解：设三角形的三边分别为a，b，c，
由三边成等差数列可知：b=$\frac{a+c}{2}$，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=c时取等号，
又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，所以B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
故选：A．

点评 此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握余弦函数的图象与性质，灵活运用基本不等式求函数的最大值，是一道综合题．