Question

【题目】已知函数f（x）= 为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=（lg 2）2+lg 2lg 5+lg 5﹣ ，判断λ与E的关系；
（3）当x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= ，则f（﹣x）= = ，

又由函数f（x）为偶函数，则有f（﹣x）=f（x），

即 = ，

解可得a=﹣1；

（2）解：由（1）可得a=﹣1，则f（x）= ，

则有f（1）=f（﹣1）=0，f（2）= ，

则集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， }，

λ=（lg 2）2+lg 2lg 5+lg 5﹣ =lg2（lg2+lg5）+lg5﹣ =lg2+lg5﹣ = ，

则有λ∈E；

（3）解：由（1）可得a=﹣1，则f（x）= =1﹣ ，则函数在（0，+∞）为增函数，

若当x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，

则有 ，

解可得m= ，n= ，

又由 ＜ 且m＞0，n＞0，则有0＜n＜m，

则m= ，n= ．

【解析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质建立方程 = ，解可得a的值；（2）由（1）可得a的值，即可得函数的解析式，由此可得集合E，由对数的运算性质计算可得λ的值，分析可得答案；（3）由（1）可得函数的解析式，进而可以断函数的单调性，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．