Question

已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；
（3）当时，函数的值域是，求实数与的值；

Answer 1

（1）为奇函数。 （2）当时，在上是减函数.当时，在上是增函数. （3），.   

试题分析：（1）由得函数的定义域为， 2分
又
所以为奇函数。                                               4分
（2）由(1)及题设知：，设，
∴当时， ∴.   6分 
当时，，即.
∴当时，在上是减函数.    
同理当时，在上是增函数.               8分
（3）①当时，有. 
由(2)可知：在为增函数，                             9分
由其值域为知 ,无解                 10分
②当时，有.由(2)知：在为减函数,
由其值域为知                            11分
得，.                                             12分
点评：偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同