Question

已知函数f（x）=ax²-4bx+2alnx（a，b∈R）
（I）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；
（II）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m-n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）

Answer 1

解：（I）f′（x）=2ax-4b+=，其中x＞0，
由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，
故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax²-4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x₁，x₂，显然a≠0，
所以，解得；
（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），
由（I）知f（x）存在极大值和极小值，
设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），则f（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，
所以m=f（x₁），n=f（x₂），
因为x₁x₂=1，所以0＜x₁＜1＜x₂，而且=∈（，），
由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，
又由于，
所以，
所以m-n=f（x₁）-f（x₂）
=-+4bx₂-2alnx₂
=+2a（lnx₁-lnx₂）
=-a（）+2aln，
令t=，则m-n=-a（t-）+2alnt，令h（t）=-（t-）+2lnt（），
所以h′（t）=-1-+=-≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e-e^-1-2＜h（t）＜e²-e^-2-4，
由m-n=ah（t）=1，知a=，所以．
分析：（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；
（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），则f（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，所以m=f（x₁），n=f（x₂），根据x₁x₂=1可把m-n表示为关于x₁，a的表达式，且表达式为1，借助x₁范围可得a的范围；
点评：本题考查利用导数研究函数的极值及函数的单调性，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强、计算量大，能力要求高．