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设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.

1)问:直线能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;

2)已知的中点,且点在椭圆上.,求椭圆的离心率.

 

1)直线不能垂直;(2

【解析】

试题分析:(1)设直线的方程为,与椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程,因为有两个交点则判别式应大于0,由韦达定理可得根与系数的关系,用中点坐标公式求点的坐标。求出直线的斜率,假设两直线垂直则斜率相乘等于,解出的关系式,根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。(2)∵MON的中点,MAB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.

,∴四边形OANB为矩形,∴,转化为向量问题,可得的关系式。由中点坐标公式可得点的坐标,将其代入椭圆方程,与上式联立消去即可得之间满足的关系式。将代入之间的关系式,可求其离心率。

试题解析:解答:(1)∵斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,

∴可以设直线的方程为.

,∴

. 1

∵直线与椭圆相交于两点,∴

. 2

. 3

为线段的中点,∴,

,∴. 4

假设直线能垂直.

∵直线的斜率为1,∴直线的斜率为-1

,∴. 5

∵在椭圆方程中,

∴假设不正确,在椭圆中直线不能垂直. 6

2)∵MON的中点,MAB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.

,∴四边形OANB为矩形,∴7

,∴,∴

,整理得. 8

点在椭圆上,∴,∴. 9

此时,满足

消去,即. 10

设椭圆的离心率为e,则,∴

,∴

,∵,∴.

考点:1直线与椭圆的位置关系;2直线垂直时斜率的关系;3转化思想。

 

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