设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.
(1)问:直线与能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;
(2)已知为的中点,且点在椭圆上.若,求椭圆的离心率.
(1)直线与不能垂直;(2)
【解析】
试题分析:(1)设直线的方程为,与椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程,因为有两个交点则判别式应大于0,由韦达定理可得根与系数的关系,用中点坐标公式求点的坐标。求出直线的斜率,假设两直线垂直则斜率相乘等于,解出的关系式,根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
∵,∴四边形OANB为矩形,∴,转化为向量问题,可得的关系式。由中点坐标公式可得点的坐标,将其代入椭圆方程,与上式联立消去即可得之间满足的关系式。将代入之间的关系式,可求其离心率。
试题解析:解答:(1)∵斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,
∴可以设直线的方程为.
∵,∴,
∴. ① 1分
∵直线与椭圆相交于两点,∴
. ② 2分
且. ③ 3分
∵为线段的中点,∴,
∴,∴. 4分
假设直线与能垂直.
∵直线的斜率为1,∴直线的斜率为-1,
∴,∴. 5分
∵在椭圆方程中,,
∴假设不正确,在椭圆中直线与不能垂直. 6分
(2)∵M为ON的中点,M为AB的中点,∴四边形OANB为平行四边形.
∵,∴四边形OANB为矩形,∴, 7分
∴,∴,∴,
∴,
∴,整理得. 8分
∵点在椭圆上,∴,∴. 9分
此时,满足,
消去得,即. 10分
设椭圆的离心率为e,则,∴,
∴,∴,
∴,∵,∴.
考点:1直线与椭圆的位置关系;2直线垂直时斜率的关系;3转化思想。
科目:高中数学 来源:2015届重庆市高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁省沈阳市高二质量监测理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知ABCD是四面体,且O为△BCD内一点,则是O为△BCD的重心的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁省沈阳市高二质量监测文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
在等差数列中,当时,必定是常数数列. 然而在等比数列 中,对某些正整数r、s,当时,可以不是常数列,试写出非常数数列的一个通项公式 .
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁大连普通高中高二上学期期末考试文数学卷(解析版) 题型:解答题
不等式解集为,不等式解集为,不等式解集为.
(1)求;
(2)若“”是“”的充分条件,求实数的取值范围.
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