Question

20．已知函数f（x）=e^x-x²-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出切点坐标（0，0），切线斜率，然后求解切线方程．
（2）令g（x）=f（x）+x²-x，求出g′（x）=e^x-1=0，得x=0，判断函数的单调性，求出极小值，然后推出结果．
（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立$?\frac{f（x）}{x}＞k$对任意的x∈（0，+∞）恒成立，构造函数，通过函数的导数求出函数的最小值，然后求出实数k的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=e^x-x²-1，f′（x）=e^x-2x，
∴k=f′（0）=1，
又切点坐标为（0，0），故所求切线方程为y=x；
（2）证明：令g（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，
令g′（x）=e^x-1=0，得x=0，
∴当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）_min=g（0）=0，从而f（x）≥-x²+x．
（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立$?\frac{f（x）}{x}＞k$对任意的x∈（0，+∞）恒成立
令$φ（x）=\frac{f（x）}{x}，x＞0$，
∴${φ^'}（x）=\frac{{x{f^'}（x）-f（x）}}{x^2}=\frac{{x（{e^x}-2x）-（{e^x}-{x^2}-1）}}{x^2}=\frac{{（x-1）（{e^x}-{x^2}-1）}}{x^2}$
由（2）可知当x∈（0，+∞）时，e^x-x-1＞0恒成立，
令φ′（x）＞0，得x＞1；φ′（x）＜0，得0＜x＜1
∴φ（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），φ（x）_min=φ（1）=e-2
∴k＜φ（x）_min=φ（1）=e-2
∴实数k的取值范围是（-∞，e-2）．

点评 本题考查函数的最值，函数的单调性以及函数的极值，切线的切线方程的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．