Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角B-PC-D的余弦值为-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求PA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明PA⊥BC，AB⊥BC，即可得BC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴、AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．则B（2，0，0），C（2，1，0），D（1，1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），求出面BPC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$及面DPC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$，由|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$\frac{|n1•n2|}{|n1||n2|}$=$\frac{2}{\sqrt{（a2+4）（a2+1）}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，解得a^_即可

解答 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴、AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
则B（2，0，0），C（2，1，0），D（1，1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），
则$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-a），
$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0）…（8分）
设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁）为面BPC的一个法向量，
则$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{{n}_{2}}$•$\overrightarrow{PC}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}y1=0\\ 2x1+y1-az1=0\end{array}$
取x₁=a，y₁=0，z₁=2，得n₁=（a，0，2）．
同理$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，a，1）为面DPC的一个法向量．…（10分）
依题意，|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$\frac{|n1•n2|}{|n1||n2|}$=$\frac{2}{\sqrt{（a2+4）（a2+1）}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
解得a²=2，或a²=-7（舍去），所以PA=$\sqrt{2}$．     …（12分）

点评 本题考查了面面垂直的判定，向量法处理空间二面角问题的方法，属于中档题．