Question

12．如图：ABCD是菱形，SAD是以AD为底边等腰三角形，$SA=SD=\sqrt{39}$，$AD=2\sqrt{3}$，且二面角S-AD-B大小为120°，∠DAB=60°．
（1）求证：AD⊥SB；
（2）求SC与SAD平面所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点E，连SE，BE，证明AD⊥平面SBE，即可证明：AD⊥SB；
（2）过S作SO⊥直线BE，垂足为O，证明∠SEB为二面角的平面角，再求SC与SAD平面所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取AD的中点E，连SE，BE，
由题意知△ABD为正三角形，
∴SE⊥AD，BE⊥AD．
又SE∩BE=E，
∴AD⊥平面SBE，SB?平面SBE，
∴AD⊥SB．
（2）解：过S作SO⊥直线BE，垂足为O，
由（1）知平面ABCD⊥平面SBE，
则SO⊥平面ABCD，连OE，则AD⊥OE．
∴∠SEB为二面角的平面角，∠SEO=60°，
∴$SO=6sin60°=3\sqrt{3}$．
∵BC∥SAD，C到SAD距离为B到SAD距离，
由B作SE垂直BO₁，由（1）知平面ASD⊥平面SBE，平面BO₁⊥平面SAD，
BE=3，$B{O_1}=2sin60°=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．OE=3，EB=3，∴OABD是平行四边形，O在直线CD上，SC²=SO²+OC²=27+48=75，$SC=5\sqrt{3}$．
设线面角为α，$sinα=\frac{{B{O_1}}}{SC}=\frac{3}{10}$，∴SC与平面SAD所成角的正弦值为$\frac{3}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．