Question

15．已知y=f（x）为R上的连续函数，其导数为f′（x），当x≠0时，f′（x）＞$\frac{-f（x）}{x}$，则关于x的函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． 0或2
• D． 2

Answer 1

分析 将求g（x）的零点个数转化为求xg（x）的最值问题，由已知求出h（x）=xg（x）＞0，得出g（x）＞0恒成立．

解答 解：∵f′（x）＞$\frac{-f（x）}{x}$，
令h（x）=xf（x）+1，
∴h′（x）=f（x）+xf′（x），
∴x＞0时，h（x）单调递增，
x＜0时，h（x）单调递减，
∴h（x）_min=h（0）=1＞0，
∴x≠0时，g（x）＞0恒成立，
故零点的个数是0个，
故选：B．

点评 本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，导数问题，函数的单调性问题，是一道中档题．