Question

4．设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），g（x）若的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a≤2时，$f（x）=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{2}a{x^2}+x$，在x∈（-1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（-1，2）上结论正确的是（　　）

• A． 既有极大值，也有极小值
• B． 有极大值，没有极小值
• C． 没有极大值，有极小值
• D． 既无极大值，也没有极小值

Answer 1

分析 根据函数恒成立，得出m的值，利用函数单调性得出结果．

解答 解：$g（x）=f'（x）=\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$，
由已知得g′（x）=x-a＜0，当x∈（-1，2）时恒成立，
故a≥2，又已知a≤2，故a=2，
此时由f′（x）=0，得：x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$∉（-1，2），
当x∈（-1，2-$\sqrt{2}$）时，f′（x）＞0；当x∈（2-$\sqrt{2}$，2）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-1，2）有极大值，没有极小值，
故选：B．

点评 本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性，属于基础知识，基本运算的考查．