【题目】【2016高考山东理数】平面直角坐标系中,椭圆C:
的离心率是
,抛物线E:
的焦点F是C的一个顶点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(i)求证:点M在定直线上;
(ii)直线与y轴交于点G,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)见解析;(ii)
的最大值为
,此时点
的坐标为
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的离心率和焦点求方程;(Ⅱ)(i)由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立,进而判断点M在定直线上;(ii)分别列出,
面积的表达式,根据二次函数求最值和此时点P的坐标.
试题解析:
(Ⅰ)由题意知,可得:
.
因为抛物线的焦点为
,所以
,
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(i)设,由
可得
,
所以直线的斜率为
,因此直线
的方程为
,即
.
设,联立方程
得,
由,得
且
,
因此,
将其代入得
,
因为,所以直线
方程为
.
联立方程,得点
的纵坐标为
,
即点在定直线
上.
(ii)由(i)知直线方程为
,
令得
,所以
,
又,
所以,
,所以
,
令,则
,
当,即
时,
取得最大值
,此时
,满足
,
所以点的坐标为
,因此
的最大值为
,此时点
的坐标为
.
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【题目】已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0,求直线l'的方程,使得:
(1)l'与l平行,且过点(﹣1,3);
(2)l'与l垂直,且l'与两轴围成的三角形面积为4.
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【题目】设数列{an}为等比数列,数列{bn}满足bn=na1+(n﹣1)a2+…+2an﹣1+an , n∈N* , 已知b1=m, ,其中m≠0.
(1)求数列{an}的首项和公比;
(2)当m=1时,求bn;
(3)设Sn为数列{an}的前n项和,若对于任意的正整数n,都有Sn∈[1,3],求实数m的取值范围.
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【题目】【河北省衡水中学2017届高三上学期五调】已知椭圆,圆
的圆心
在椭圆
上,点
到椭圆
的右焦点的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线
,且
交椭圆
于
两点,直线
交圆
于
两点,且
为
的中点,求
面积的取值范围.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是边长为2的正方形,侧面
为正三角形,且面
面
,
分别为棱
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)(文科)求三棱锥的体积;
(理科)求二面角的正切值.
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【题目】已知函数f(x)= ,g(x)=x2+2mx+
(1)用定义法证明f(x)在R上是增函数;
(2)求出所有满足不等式f(2a﹣a2)+f(3)>0的实数a构成的集合;
(3)对任意的实数x1∈[﹣1,1],都存在一个实数x2∈[﹣1,1],使得f(x1)=g(x2),求实数m的取值范围.
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