Question

【题目】已知函数f（x）= ，g（x）=x2+2mx+
（1）用定义法证明f（x）在R上是增函数；
（2）求出所有满足不等式f（2a﹣a2）+f（3）＞0的实数a构成的集合；
（3）对任意的实数x1∈[﹣1，1]，都存在一个实数x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）=g（x2），求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）的定义域为R，设x1、x2是R上任意两个值，且x1＜x2，则 ，

∵x1＜x2，∴ ， ， ，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x）在R上是增函数

（2）解：∵ ，∴f（x）在R上是奇函数，

∵f（2a﹣a2）+f（3）＞0，∴f（3）＞﹣f（2a﹣a2）=f（a2﹣2a），

又∵f（x）在R上是增函数，∴a2﹣2a＜3，

解得﹣1＜a＜3，∴所求实数a构成的集合为 {a|﹣1＜a＜3}

（3）解：∵f（x）在R上是增函数，∴当x1∈[﹣1，1]时，f（x1）∈[f（﹣1），f（1）]，即 ．

设g（x）在[﹣1，1]上的值域为B，则由题意可知AB．

∵ ，∴ ，解得 或 ，

①当 时，函数g（x）在[﹣1，1]上为减函数，所以 ；

由AB得 ，解得 ．

②当 时，函数g（x）在[﹣1，1]上为增函数，所以 ，

由AB得 ，解得 ．

综上可知，实数m的取值范围为 或

【解析】（1）设x1、x2是R上任意两个值，且x1＜x2 ， 求得∴f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）在R上是增函数．（2）先证明f（x）为奇函数，不等式即f（3）＞﹣f（2a﹣a2）=f（a2﹣2a），再利用f（x）在R上是增函数 可得a2﹣2a＜3，由此求得a的范围．（3）利用f（x）的单调性求得A，设g（x）在[﹣1，1]上的值域为B，则由题意可知AB，分类讨论求得B，从而求得实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数单调性的性质的理解，了解函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．