Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S_n=5，数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前2016项的和为-$\frac{2016}{4031}$．

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和公式解方程组即可求{a_n}的通项公式；求出求数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的通项公式，利用裂项法即可求前n项和S_n．

解答 解：由等差数列的性质可得 $\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=5}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{{a}_{1}+2d=1}\end{array}\right.$，解得a₁=-1，d=1，
则{a_n}的通项公式a_n=-1+（n-1）=n-2；
所以 $\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
则数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{n}{1-2n}$．
所以数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前2016项的和为：$\frac{2016}{1-2016×2}$=-$\frac{2016}{4031}$．
故答案是：-$\frac{2016}{4031}$．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力．