【题目】已知以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.
(1)求椭圆的方程:
(2)若是椭圆
上的动点,求
的取值范围;
(3)直线:
与椭圆
交于异于椭圆顶点的
,
两点,
为坐标原点,直线
与椭圆
的另一个交点为
点,直线
和直线
的斜率之积为1,直线
与
轴交于点
.若直线
,
的斜率分别为
,
试判断
,是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】已知命题 :
表示双曲线,命题
:
表示椭圆。
(1)若命题与命题
都为真命题,则
是
的什么条件?
(请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个)
(2)若 为假命题,且
为真命题,求实数
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
为参数
,直线
与曲线
分别交于
两点.
(1)若点的极坐标为
,求
的值;
(2)求曲线的内接矩形周长的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,动点分别与两个定点
,
的连线的斜率之积为
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设过点的直线与轨迹
交于
,
两点,判断直线
与以线段
为直径的圆的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,已知三棱锥D-ABC中,二面角A-BC-D的大小为90°,且∠BDC=90°,∠ABC=30°,BC=3,.
(1)求证:AC⊥平面BCD;
(2)二面角B-AC-D为45°,且E为线段BC的中点,求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值.
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【题目】某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300):
空气质量指数 | ||||||
空气质量等级 | 1级优 | 2级良 | 3级轻度污染 | 4级中度污染 | 5级重度污染 | 6级严重污染 |
该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如下图,把该直方图所得频率估计为概率.
(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况,则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良?
(2)从这10天的空气质量指数监测数据中,随机抽取三天,求恰好有一天空气质量良的概率;
(3)从这10天的数据中任取三天数据,记表示抽取空气质量良的天数,求
的分布列和期望.
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