Question

如图，三棱柱中，平面，，, 点在线段上，且，．

（Ⅰ）求证：直线与平面不平行；
（Ⅱ）设平面与平面所成的锐二面角为，若，求的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面平面，求直线与所成的角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析  （Ⅱ）　．（Ⅲ）直线与所成的角的余弦值为．

(I)本小题易用空间向量法解决，易求出平面ABC的法向量，然后证明向量DE与平面ABC的法向量的数量积不等于零即可.
（2）先求出平面的一个法向量，然后，可以求出此直棱柱的高.
(3)先找出平面平面与平面的交线．在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线.
然后求出的坐标，再根据,求出直线与所成的角的余弦值.
依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
．2分

（Ⅰ）证明：由平面可知为平面的一个法向量．
∴　．∴　直线与平面不平行．   4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，则，
取，则，故．6分
∴，7分解得．∴　．
（Ⅲ）在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线．∵　，，∴　．∴　，
∴　．········ 11分
由（Ⅱ）知，，故，
∴　．∴　直线与所成的角的余弦值为