Question

【题目】在多面体中，是边长为的正方形，，平面平面，，。

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）推导出BE⊥BC，BD⊥CE，从而BE⊥平面ABCF，进而BE⊥AB，再由AB⊥CE，得AB⊥平面BCDE，从而CF⊥平面BCDE，进而CF⊥BD，由此能证明BD⊥平面CFE．（2）以B为原点，向量 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面ADF所成角的正弦值．

（1）∵BCDE是正方形，∴BE⊥BC，BD⊥CE，

∵平面ABCF⊥平面BCDE，平面ABCF∩平面BCDE＝BC，

∴BE⊥平面ABCF，∴BE⊥AB，∵AB⊥CE，BE∩CE＝E，

∴AB⊥平面BCDE，∵CF∥AB，∴CF⊥平面BCDE，∴CF⊥BD，

∵CF∩CE＝C，∴BD⊥平面CFE．

（2）以B为原点，向量分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则E（0，2，0），F（2，0，1），A（0，0，2），D（2，2，0），则＝（2，﹣2，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝（0，﹣2，1），设平面ADF的法向量＝（x，y，z），

则，取y＝1，得＝（1，1，2），

设直线EF与平面ADF所成角为θ，则sinθ＝＝＝．

∴直线EF与平面ADF所成角的正弦值为．