Question

19．已知图一是四面体ABCD的三视图，E是AB的中点，F是CD的中点．
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）求EF与平面ABC所成的角．

Answer 1

分析 （1）根据三视图得出棱锥的结构特征和棱长，代入体积公式计算；
（2）通过V_E-BCF=V_F-BCE得出F到平面ABC的距离，利用线面角的定义即可得出线面角的正弦值，从而得出所求线面角的大小．

解答 解：（1）由三视图可知AD⊥平面BCD，BD⊥CD，
AD=1，CD=BD=2，
∴四面体ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{Rt△BCD}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．
（2）∵E是AB的中点，F是CD的中点，
∴E到平面BCD的距离为$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_△BCD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2$=1，
∴V_E-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{△BCF}•\frac{1}{2}AD$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
由勾股定理得AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$，∴△ABC的BC边上的高为$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设F到平面ABC的距离为h，则V_F-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•h$=$\frac{\sqrt{6}}{6}h$，
又V_E-BCF=V_F-BCE，∴$\frac{1}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}h$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
连结DE，则DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
设EF与平面ABC所成的角为θ，则sinθ=$\frac{h}{EF}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
∴EF与平面ABC所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥的体积计算，空间角的计算，属于中档题．