Question

1．已知sinx-cosx∈[-1，$\sqrt{2}$]，求函数f（x）=（sinx-a）（cosx+a）的最大值．

Answer 1

分析 令sinx-cosx=t∈[-1，$\sqrt{2}$]，则sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$．可得函数f（x）=sinxcosx+a（sinx-cosx）+a²=$-\frac{1}{2}（t-a）^{2}$+$\frac{3}{2}{t}^{2}$+$\frac{1}{2}$=g（t）．对a与-1，$\sqrt{2}$的大小关系分类讨论即可得出．

解答 解：令sinx-cosx=t∈[-1，$\sqrt{2}$]，则sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$．
∴函数f（x）=（sinx-a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx-cosx）+a²
=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+at+a²
=$-\frac{1}{2}（t-a）^{2}$+$\frac{3}{2}{t}^{2}$+$\frac{1}{2}$=g（t）．
当a$＞\sqrt{2}$时，t=$\sqrt{2}$时函数g（t），即f（x）取得最大值${a}^{2}+\sqrt{2}a-\frac{1}{2}$．
当a＜-1时，t=-1时函数g（t），即f（x）取得最大值a²-a．
当-1≤a$≤\sqrt{2}$1时，t=a时函数g（t），即f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$a²．

点评 本题考查了三角函数的代换、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．