Question

已知函数g（x）=sin（2x+

π

6

）-cos（

4π

3

-2x），x∈R
（1）求函数g（x）的最小正周期及单减区间；
（2）若将函数g（x）先左平移

7π

6

个单位，再将其纵坐标伸长到原来的2倍得到函数f（x），当x∈[-

3π

8

，λ]时，f（x）的值域恰好为[-2

2

，4]，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：利用已知条件，推出两个角的关系，化简函数的解析式．
（1）直接利用周期公式求出周期，通过正弦函数的单调减区间，求解函数的单调减区间即可．
（2）通过函数的图象变换求出f（x），通过角的范围求出外心的范围，利用函数的值域求解λ的取值范围．

解答： 解：（1）由2x+

π

6

+

4π

3

-2x=

3π

2

，
g（x）=sin（2x+

π

6

）-cos[

3π

2

-（

4π

3

-2x）]=2sin（2x+

π

6

）…（2分）
∴T=

2π

2

=π…（4分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3

2

π，k∈Z．
即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2

3

π，k∈Z．
∴函数g（x）单减区间[kπ+

π

6

，kπ+

2

3

π]，k∈Z…（6分）
（2）由题意将函数g（x）先左平移

7π

6

个单位，再将其纵坐标伸长到原来的2倍得到函数f（x），
得f（x）=4cos2x…（8分）
即当-

3π

4

≤2x≤2λ时，-

2

2

≤cos2x≤1
当2x=-

3π

4

和2x=

3π

4

时，cos2x=-

2

2

；2x=0时，cos2x=1，
0≤2λ≤

3π

4

故0≤λ≤

3π

8

…（10分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数的周期以及函数的单调性的应用，三角函数的图象变换，考查计算能力．