Question

16．在△OAB中，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{OB}$，AD与BC交于点M，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$．在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设$\overrightarrow{OE}$=p$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=q$\overrightarrow{OB}$．
（1）用$\vec a，\vec b$向量表示$\overrightarrow{OM}$
（2 ）求证：$\frac{1}{6p}$+$\frac{1}{3q}$=1．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OD}+（1-λ）\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OM}$=μ$\overrightarrow{OB}$+（1-μ）$\overrightarrow{OC}$，根据三点共线原理和平面向量的基本道理列方程求出λ，μ即可得出答案；
（2）用$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OF}$表示出$\overrightarrow{OM}$即可得出结论．

解答 解：（1）∵A，M，D三点共线，∴存在实数λ使得$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OD}+（1-λ）\overrightarrow{OA}$=（1-λ）$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{5}λ$$\overrightarrow{b}$，
∵B，M，C三点共线，∴存在实数μ使得$\overrightarrow{OM}$=μ$\overrightarrow{OB}$+（1-μ）$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1-μ}{4}$$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{1-μ}{4}}\\{\frac{2λ}{5}=μ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{5}{6}}\\{μ=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$．
（2）∵$\overrightarrow{OE}$=p$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=q$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{p}\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{q}\overrightarrow{OF}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{6p}$$\overrightarrow{OE}$+$\frac{1}{3q}$$\overrightarrow{OF}$，
∵E，M，F三点共线，
∴$\frac{1}{6p}$+$\frac{1}{3q}$=1．

点评 本题考查了平面向量的基本道理，向量共线定理，属于中档题．