Question

设两函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）与g（x）=log_bx（b＞0且b≠1）的图象分别是C₁和C₂．
（1）当C₁与C₂关于x轴对称时，求a•b的值；
（2）当x∈[2，+∞）时，总有|f（x）|＞1成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）y=log_ax的图象与y=log_bx的图象关于x轴对称，可得log_ax=-log_bx，即log_xa=-log_xb，即可得出结论；
（2）由在x∈[2，+∞）上总有|f（x）|＞1?|log_ax|＞1，要去掉绝对值，需要考虑a的范围分类讨论①若a＞1，x≥2时，log_ax＞0，即log_ax＞1恒成立，②若0＜a＜1，x≥2时log_ax＜0，．即log_ax＜-1恒成立，从而可求a的范围

解答： 解：（1）∵y=log_ax的图象与y=log_bx的图象关于x轴对称，
∴log_ax=-log_bx，
∴log_xa=-log_xb
∴a=

1

b

，
∴ab=1；
（2）：①若a＞1，x≥2时，log_ax＞0，
由|f（x）|＞1得f（x）＞1，即log_ax＞1恒成立．
∴x＞a恒成立，∴1＜a＜2．
②若0＜a＜1，x≥2时log_ax＜0，
由|f（x）|＞1得f（x）＜-1．即log_ax＜-1恒成立，也即x＞

1

a

恒成立，
∴

1

a

＜2．∴

1

2

＜a＜1，
综上，a的取值范围为（

1

2

，1）∪（1，2）．

点评：本题考查函数的图象关于x轴对称，考查对数的性质，考查了利用对数函数 的单调性解不等式，解题中要体会分类讨论思想的应用，属于中档试题