Question

已知a为正实数，函数f（x）=

-2x(x2-a)+x2，x2≥a 2x(x2-a)+x2，x2＜a

（Ⅰ）当a=4时，求f（x）的单调递增区间：
（Ⅱ）函数f（x）在x∈[0，l]上的最小值为f（1），求a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）写出a=4的f（x）的表达式，分别求导数，并分解因式，求出增区间；
（Ⅱ）转化为求x∈[0，1]，f（x）≥f（1）恒成立时a的取值范围．对a讨论①a≥1，②0＜a＜1，Ⅰ）

a

≤x＜1，Ⅱ）0＜x＜

a

，1）

a

≤

1

4

，2）

a

≥

1

4

，通过分段函数表达式，注意对应，通过参数分离，运用函数的单调性求出最值，解出不等式，最终求并集．

解答： 解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=

x2-2x(x2-4)，x≥2或x≤-2 x2+2x(x2-4)，-2＜x＜2

，
当x≥2或x≤-2时，f′（x）=2x-6x²+8=-2（x+1）（3x-4）＜0恒成立，故无减区间；
当-2＜x＜2时，f′（x）=2x+6x²-8=2（x-1）（3x+4）＞0得-2＜x＜-

4

3

或1＜x＜2，
∴f（x）的单调递增区间为（-2，-

4

3

），（1，2）；
（Ⅱ）由题意即求x∈[0，1]，f（x）≥f（1）恒成立时a的取值范围．
x=1时，f（x）=f（1）；对x∈[0，1），要使f（x）≥f（1）．
①当a≥1时，f（x）≥f（1）得x²+2x（x²-a）≥3-2a，即2a（x-1）≤2x³+x²-3，
由于0≤x＜1，即2a≥

2x3+x2-3

x-1

=2x²+3x+3，故2a≥2+3+3即a≥4；
②当0＜a＜1时，f（x）≥f（1）得x²-x（x²-a）•（±2）≥2a-1．
Ⅰ）

a

≤x＜1时，x²-2x（x²-a）≥2a-1即2a（x-1）≥2x³-x²-1，2a≤

2x3-x2-1

x-1

=2x²+x+1，
故只需2a≤2a+

a

+1，显然成立；
Ⅱ）0＜x＜

a

时，x²+2x（x²-a）≥2a-1即2a（x+1）≤2x³+x²+1，2a≤

2x3+x2+1

x+1

=2x²-x+1
1）当

a

≤

1

4

，即0＜a≤

1

16

时，只需2a≤2a-

a

+1显然恒成立；
2）当

a

≥

1

4

即

1

16

≤a＜1时，2a≤

1

8

-

1

4

+1=

7

8

，故

1

16

≤a≤

7

16

．
由1），2）得，0＜a≤

7

16

．
故由①②得a的取值范围为（0，

7

16

]∪[4，+∞）．

点评：本题考查函数的性质和应用，考查不等式的恒成立问题的参数分离法，由函数的单调性求最值，考查分类讨论的思想方法，属于综合题，有一定的难度．