Question

如图所示，f_i（x）（i=1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x₁和x₂，任意λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立”的只有

 

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Answer 1

考点：函数的图象,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题设对[0，1]中任意的x₁和x₂，任意λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立，知，此函数必不为一凹函数，依据凹函数的图象特征进行判断即可．

解答： 解：由题意，观察四个选项：f₁（x）中的图象先降后升是一凸函数，满足要求，
f₂（x）中的函数是先升后降是一凹函数，不满足要求；
f₃（x）中的图象直线上升，不是凹函数，满足要求，
f₄（x）中的函数图象凸、凹函数各一部分．不满足要求；
考察定义：对[0，1]中任意的x₁和x₂，任意λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立知，此函数在[0，1]不是凹函数，由上分析知只有f₁（x），f₃（x）符合题意．
故答案为：f₁（x）、f₃（x）．

点评：本题的考点是函数的图象，考查函数图象的变化规律，在本题中给出了一个新定义，对于新定义的题型，要认真研究其运算特征，充分理解其内涵再依据新规则做题．