Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，若m∈[-1，1]，则f（m）的最小值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值，利用导数求出f（m）的极值，判断极小值且为最小值．

解答： 解：∵f′（x）=-3x²+2ax，
函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，
∴-12+4a=0，解得a=3，
∴f′（x）=-3x²+6x，
∴当m∈[-1，1]时，f（m）=-m³+3m²-4，
f′（m）=-3m²+6m，
令f′（m）=0得m=0，m=2（舍去），
由于-1≤m＜0，f′（m）＜0，f（m）递减，0＜m≤1，f′（m）＞0，f（m）递增．
所以m=0时，f（m）取极小，也为最小，且为-4．
故答案为：-4．

点评：本题考查了利用导数求单调区间和极值，以及求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，是中档题．