Question

已知不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，则不等式cx²+bx+a＜0的解集是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由于不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，可得α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根，且a＜0．利用根与系数的关系可把不等式cx²+bx+a＜0化为(x-

1

α

)(x-

1

β

)＞0．解出即可．

解答： 解：不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，
则α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根，且a＜0．
∴α+β=-

b

a

，α•β=

c

a

．
则不等式cx²+bx+a＜0化为

c

a

x2+

b

a

x+1＞0，
∴αβx²-（α+β）x+1＞0．
化为(x-

1

α

)(x-

1

β

)＞0．
∵0＜α＜β，∴

1

α

＞

1

β

．
∴不等式cx²+bx+a＜0的解集为：{x| x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
故答案为：{x| x＞

1

α

或x＜

1

β

}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．