【题目】已知,函数
,直线
.
讨论
的图象与直线
的交点个数;
若函数
的图象与直线
相交于
,
两点
,证明:
.
【答案】(1)当时,
无交点;
时,
有一个交点;
时,
有两个交点;(2)证明见解析.
【解析】
根据函数与方程的关系,设
,求函数的导数,研究函数的单调性和极值,结合极值与0的关系进行判断即可.
构造函数
,求函数的导数,结合
与l的交点坐标,进行证明即可.
由題意,令
,
则,
令,解得
.
所以在
上单调递增,
令,解得
,所以
在
上单调递减,
则当时,函数取得极小值,同时也是最小值
.
当
,即
时,
的图象与直线l无交点,
当
,即
时
的图象与直线l只有一个交点.
当
,即
时
的图象与直线l有两个交点.
综上所述,当时,
的图象与直线l无交点;
时,
的图象与直线l只有一个交点;
时
的图象与直线l有两个交点.
证明:令
,
,
,
,即
在
上单调递增,
,
时,
恒成立,
又,
,
,
即,
又
,
,
,
在
上单调递增,
即
.
,
,
.
,
即,则
,
,
即,
即成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库,设,并在公路北侧建造边长为
的正方形无顶中转站CDEF(其中EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且
.
(1)求关于
的函数解析式,并求出定义域;
(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问:取何值时,该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cosθ,以极点为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l经过点M(5,6),且斜率为.
(1)求圆 C的平面直角坐标方程和直线l的参数方程;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求|MA|+|MB|的值.
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【题目】某化工企业2018年年底投入100万元,购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元,此外,每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备年的年平均污水处理费用为
(单位:万元)
(1)用表示
;
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。
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【题目】如图,已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,点
为椭圆
上任意一点,
关于原点
的对称点为
,有
,且
的最大值
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是
关于
轴的对称点,设点
,连接
与椭圆
相交于点
,直线
与
轴相交于点
,试求
的值.
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【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
=
,
.
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