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【题目】如图,已知椭圆的左、右焦点分别为,点为椭圆上任意一点,关于原点的对称点为,有,且的最大值.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若关于轴的对称点,设点,连接与椭圆相交于点,直线轴相交于点,试求的值.

【答案】(1)(2)

【解析】

1)由对称可得,故.又根据的最大值得到,进而得到,所以可得到椭圆的方程.(2)由题意可设直线的方程为,结合由直线方程与椭圆方程组成的方程组可得直线的方程为,令,得点的横坐标,从而得到点为左焦点

进而得到

(1)因为点为椭圆上任意一点,关于原点的对称点为

所以

所以

的最大值为,知当为上顶点时,最大,

所以

所以

所以

所以椭圆的标准方程为.

(2)由题意可知直线存在斜率,设直线的方程为

消去并整理得.

因为直线与椭圆交于两点,

所以

解得

,则

,①

直线的方程为

,得 ,②

由①②得.

所以点为左焦点

因此

所以

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总计

外语优秀

外语不优秀

总计

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