Question

已知在Rt△ABC中，其中∠A为直角，向量

OA

=

i

+

j

，

OB

=2

i

+3

j

，

OC

=（2m+1）

i

+（m-3）

j

，其中

i

，

j

是互相垂直的两个单位向量．
（1）求实数m的值；
（2）过A作AE⊥BC于E，延长AE至D，使四边形ABDC为直角梯形（其中AC、BD为底边），用

i

，

j

表示

OD

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）以

i

，

j

为直角坐标系的单位向量建立直角坐标系．此时

OA

=（1，1），

OB

=（2，3），

OC

=（2m+1，m-3），可得

AB

，

AC

．由∠A为直角，可得

AB

•

AC

=0，解得m即可．
（2）设

OD

=（x，y），

BD

=（x-2，y-3），

AC

=（4，-2），利用

AC

∥

BD

，可得x+2y-8=0．又

AD

=（x-1，y-1），

BC

=（3，-4），利用

AD

⊥

BC

，可得

AD

•

BC

=0，3x-4y+1=0，联立解出即可．

解答： 解：（1）以

i

，

j

为直角坐标系的单位向量建立直角坐标系．
此时

OA

=（1，1），

OB

=（2，3），

OC

=（2m+1，m-3），

AB

=（1，2），

AC

=（2m，m-4）．
∵∠A为直角，
∴

AB

•

AC

=2m+2（m-4）=0，解得m=2．
（2）设

OD

=（x，y），

BD

=（x-2，y-3），

AC

=（4，-2），
∵

AC

∥

BD

，∴-2（x-2）=4（y-2），即x+2y-8=0．
又

AD

=（x-1，y-1），

BC

=（3，-4），
∵

AD

⊥

BC

，可得3（x-1）-4（y-1）=0，化为3x-4y+1=0，
联立

x+2y-8=0 3x-4y+1=0

，解得

x=3 y= 5 2

，
∴

OD

=(3，

5

2

)，即

OD

=3

i

+

5

2

j

．

点评：本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、直角梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．