Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=

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（a_n²+3a_n+2），n∈N⁺）．
（1）求a_n；
（2）若a_kn∈{a₁，a₂，…，a_n，…}，且a_k1，a_k2，…，a_kn，…成等比数列，当k₁=1，k₂=4时，求k_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=

1

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（a_n²+3a_n+2），得当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

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(an2-an-12+3an-3an-1)，整理后结合a_n＞0可得a_n-a_n-1=3，即数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列．由等差数列的通项公式得答案；
（2）由ak1=a1=1，ak2=a4=10，可得数列{akn}是首项为1，公比为10的等比数列．又akn∈{a₁，a₂，…，a_n，…}，由通项相等可求k_n的值．

解答： 解：（1）由S_n=

1

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（a_n²+3a_n+2），得
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

6

(an2-an-12+3an-3an-1)，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=3．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列．
故a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）ak1=a1=1，ak2=a4=10，
∴数列{akn}是首项为1，公比为10的等比数列．
则akn=10n-1，
又akn∈{a₁，a₂，…，a_n，…}，
∴akn=3kn-2=10n-1，
∴kn=

10n-1+2

3

，n∈N*．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．