Question

有下列关于三角函数的命题
P₁：?x∈R，x≠kπ+

π

2

（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；
P₂：函数y=sin（x-

3π

2

）与函数y=cosx的图象相同；
P₃：?x₀∈R，2cosx₀=3；
P₄：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（　　）

• A、P₁，P₄
• B、P₂，P₄
• C、P₂，P₃
• D、P₁，P₂

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断P₁；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断P₂；由余弦函数的值域，即可判断P₃；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断P₄．

解答： 解：对于P₁，?x∈R，x≠kπ+

π

2

（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx
=

2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2tanx

1+tan2x

＞0，则P₁为真命题；
对于P₂，函数y=sin（x-

3π

2

）=sin（2π+x-

3π

2

）=sin（x+

π

2

）=cosx，则P₂为真命题；
对于P₃，由于cosx∈[-1，1]，

3

2

∉[-1，1]，则P₃为假命题；
对于P₄，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|-cosx|=|cosx|=f（x），
则f（x）的最小正周期为π，则P₄为假命题．
故选D．

点评：本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．