Question

抛物线C₁：x²=2y的焦点为F，以F为圆心C₂交C₁于A，B两点，交C₁准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则C₂的标准方程为（　　）

• A、x²+（y-

  1

  2

  ）²=4
• B、（x-

  1

  2

  ）²+y²=4
• C、x²+（y-

  1

  2

  ）²=2
• D、（x-

  1

  2

  ）²+y²=2

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点坐标，四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F(0，

1

2

)为圆C₂的圆心，通过点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等，求出直线AB的方程为：y=

3

2

，然后求出半径，即可得到圆的方程．

解答： 解：依题意，抛物线C₁：x²=2y的焦点为F(0，

1

2

)，
∴圆C₂的圆心坐标为F(0，

1

2

)，
∵四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F(0，

1

2

)为圆C₂的圆心
∴点F为该矩形的两条对角线的交点，
∴点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等，
又点F到直线CD的距离为p=1∴直线AB的方程为：y=

3

2

∴A(

3

，

3

2

)
∴圆C₂的半径r=|AF|=

( 3 -0)2+( 3 2 - 1 2 )2

=2
∴圆C₂的方程为：x2+(y-

1

2

)2=4

点评：本题考查抛物线分简单性质圆的标准方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．