Question

传染性非典型性肺炎（简称“非典“）是一种急性传染病．某市在2003年4月发生了非典疫情，据资料统计，4月1日，该市的新感染者为20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者多10人．由于该市各部门通力合作，采取隔离措施（还没有特效药问世），使非典的传播得到了控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者少8人，到4月30日止，该市在这30日内感染该病的患者共有2196人．问：4月几日该市感染该病的人数最多？求这一天的新感染人数．

Answer 1

考点：函数的值

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意知前n天流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20，公差为10的等差数列，由等差数列的前n项和公式求出一个感染的总人数，而后30-n天的流感病毒新感染者的人数，公差为-8，项数为30-n的等差数列，写出感染的总人数，根据等差数列的通项公式求出所求．

解答： 解：设从4月1日，该市第n日（n∈N^*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人数最多．
则从4月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人数构成一个等差数列，其首项为20，公差为10．
所以前n日患者总人数S_n=20n+

n(n-1)

2

×10=5n²+15n，
从第n+1日开始至4月30日止，每日感染此病毒的新患者人数依次构成另一个等差数列．
其首项为20+（n-1）×10-8=10n+2，公差为-8，项数为（30-n），
其患者总人数为T_30-n=（30-n）（10n+2）+

(30-n)(29-n)

2

×（-8）
=-14n²+534n-3420，
由题意可得S_n+T_30-n=2196，即（5n²+15n）+（-14n²+534n-3420）=2196，
化为9n²-549n+5616=0，即n²-61n+624=0，解得n=13（1≤n≤30）．
∴n=13，第13日的新患者人数为20+（13-1）×10=140．
∴4月13日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天患者人数为140．

点评：本题考查等差数列的实际应用，考查等差数列的前n项和公式、通项公式，解数学问题应用题重点在过好三关：（1）阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答．