Question

已知数列{a_n}的首项为1，前n项和S_n满足

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2）．
（Ⅰ）求S_n与数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），求使不等式b₁+b₂+…+b_n＞

12

25

成立的最小正整数n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）通过数列的递推关系式，判断

Sn

是等比数列，求出通项公式，然后求S_n与数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），通过裂项法求使不等式b₁+b₂+…+b_n，然后解不等式，即可求出不等式成立的最小正整数n．

解答： 解：（Ⅰ）因为

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2），
所以

Sn

是首项为1，公差为1的等差数列，…（1分）
则

Sn

=1+（n-1）1=n，…（2分）
从而S_n=n²．…（3分）
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
因为a₁=1也符合上式，
所以a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（8分）
所以b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，…（10分）
由

n

2n+1

＞

12

25

，解得n＞12．…（12分）
所以使不等式成立的最小正整数为13．…（13分）

点评：本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想