Question

1．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求证：BC⊥面SAB；
（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1），由题设条四棱锥S-ABCD的体积：V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×（AD+BC）×AB×SA，即可求得四棱锥S-ABCD的体积；
（2），由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能够证明面SAB⊥面SBC；
  （3），连接AC，知∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角，由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（1）∵底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$．
∴四棱锥S-ABCD的体积：V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×（AD+BC）×AB×SA=$\frac{1}{6}$×（$\frac{1}{2}$+1）×1×1=$\frac{1}{4}$．
（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB．
∵BC?面SBC，
∴面SAB⊥面SBC．
（3）连接AC，
∵SA⊥面ABCD，
∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．
在三角形SCA中，
∵SA=1，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴tan∠SCA=$\frac{SA}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查棱锥的体积公式，考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．