Question

(2014·海淀模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1,且E是BC中点.

(1)求证：A1B∥平面AEC1.

(2)求证：B1C⊥平面AEC1.

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析

【解析】 (1)连接A1C交AC1于点O,连接EO,

因为ACC1A1为正方形,所以O为A1C中点.

又E为CB中点,所以EO为△A1BC的中位线,

所以EO∥A1B.

又EO?平面AEC1,A1B?平面AEC1,

所以A1B∥平面AEC1.

(2)因为AB=AC,又E为CB中点,

所以AE⊥BC,

又因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

BB1⊥底面ABC,

又AE?底面ABC,所以AE⊥BB1,

又因为BB1∩BC=B,所以AE⊥平面BCC1B1,

又B1C?平面BCC1B1,

所以AE⊥B1C.

在矩形BCC1B1中,

tan∠BCB1=tan∠EC1C=,

所以∠BCB1=∠EC1C,

所以∠BCB1+∠CEC1=90°,

即B1C⊥EC1.

又AE∩EC1=E,所以B1C⊥平面AEC1.