Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），且点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}-\frac{5}{3}}$=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的两条切线，切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m、n，证明：$\frac{1}{3{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}$为定值；
（3）若P₁、P₂是椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{3{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上不同两点，P₁P₂⊥x轴，圆E过P₁、P₂，且椭圆C₂上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C₂是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．
（2）由题意：确定出C₁的方程，设点P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为-1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．
（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P₁，P₂的三角形的外接圆．所以圆心在x轴上．根据题意写出圆E的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P₁E|，结合图形可得圆心E在线段P₁P₂上，半径最小．又由于点F已知，即可求得结论．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），且点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上；
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由题意：C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1，
设点P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），
∵M，N不在坐标轴上，∴k_PM=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∴直线PM的方程为y-y₂=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$（x-x₂），
化简得：x₂x+y₂y=$\frac{4}{3}$，①，
同理可得直线PN的方程为x₃x+y₃y=$\frac{4}{3}$，②，
把P点的坐标代入①、②得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}{x}_{1}+{y}_{2}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\\{{x}_{3}{x}_{1}+{y}_{3}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线MN的方程为x₁x+y₁y=$\frac{4}{3}$，
令y=0，得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$，令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$，
∴x₁=$\frac{4}{3m}$，y₁=$\frac{4}{3n}$，
又点P在椭圆C₁上，
∴（$\frac{4}{3m}$）²+3（$\frac{4}{3n}$）²=4，
则$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$为定值．
（3）由椭圆的对称性，可以设P₁（m，n），P₂（m，-n），点E在x轴上，设点E（t，0），
则圆E的方程为：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P₁E|，
设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|ME|²=（x-t）²+y²=$\frac{3}{4}{x}^{2}-2tx+{t}^{2}+1$，
当x=m时，|ME|²最小，∴m=-$\frac{-2t}{3}=\frac{4t}{3}$，③，
又圆E过点F，∴（-$\sqrt{3}-t$）²=（m-t）²+n²，④
点P₁在椭圆上，∴${n}^{2}=1-\frac{{m}^{2}}{4}$，⑤
由③④⑤，解得：t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$，
又t=-$\sqrt{3}$时，m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜-2，不合题意，
综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．