Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当点P（x，y）在椭圆C上运动时，点Q（$\frac{\sqrt{3}x}{3}$，$\frac{2y}{3}$）在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；
（3）过椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}-\frac{5}{3}}$=1上异于其顶点的任意一点Q作曲线S的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴的截距分别为m，n，试问：$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．
（2）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，Q（$\frac{2\sqrt{3}}{3}co{s}^{2}θ$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ$），（0≤θ＜2π），由此能求出曲线S的轨迹方程，并能指出该曲线是什么图形．
（3）由题意：确定出C₁的方程，设点P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为-1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），且点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上；
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）∵点P（x，y）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上运动时，点Q（$\frac{\sqrt{3}x}{3}$，$\frac{2y}{3}$）在曲线S上运动，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，∴Q（$\frac{2\sqrt{3}}{3}co{s}^{2}θ$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ$），（0≤θ＜2π），
∴曲线S的轨迹方程为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{3}$，
曲线S是以原点为圆心，以$\frac{2\sqrt{3}}{3}$为半径的圆．
（3）由题意：C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1，
设点Q（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），
∵M，N不在坐标轴上，∴k_PM=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∴直线QM的方程为y-y₂=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$（x-x₂），
化简得：x₂x+y₂y=$\frac{4}{3}$，①，
同理可得直线QN的方程为x₃x+y₃y=$\frac{4}{3}$，②，
把Q点的坐标代入①、②得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}{x}_{1}+{y}_{2}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\\{{x}_{3}{x}_{1}+{y}_{3}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线MN的方程为x₁x+y₁y=$\frac{4}{3}$，
令y=0，得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$，令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$，
∴x₁=$\frac{4}{3m}$，y₁=$\frac{4}{3n}$，
又点Q在椭圆C₁上，
∴（$\frac{4}{3m}$）²+3（$\frac{4}{3n}$）²=4，
则$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$为定值．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．