Question

已知函数f（x）=

ax+b

x2+1

的值域为[-1，4]，求实数a，b的值．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：先令y=

ax+b

x2+1

，将该函数整理成关于x的方程，该方程有实数根，所以对应判别式△≥0，这样便可求出y的范围，即原函数的值域，又告诉值域是[-1，4]，所以让它对应端点相等求出a，b即可．

解答： 解：令y=

ax+b

x2+1

，并将该函数变成：yx²-ax+y-b=0，则该关于x的方程有实数根；
∴△=a2-4y(y-b)=-4(y-

b

2

)2-a2-b2≥0，即(y-

b

2

)2≤

a2+b2

4

；
∴

b- a2+b2

2

≤y≤

b+ a2+b2

2

；
又函数f（x）的值域为[-1，4]；
∴

b- a2+b2 2 =-1 b+ a2+b2 2 =4

，解得a=±4，b=3；
∴实数a，b的值分别为：±4，3．

点评：考查一元二次方程实数根与判别式△的关系，掌握这种，将原函数整理成关于x的方程，由方程有实数根求值域的方法．