Question

15．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{c}$=1，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$=2，则|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$$+\overrightarrow{c}$|的取值范围为（　　）

• A． [0，+∞）
• B． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{c}$=1，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$=2，不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（m，n），$\overrightarrow{c}$=（p，q）．可得：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=m=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=p=2，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=mp+nq=2+nq=1，n=-$\frac{1}{q}$．由${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$=m²+n²+p²+q²=5+n²+q²=5+$\frac{1}{{q}^{2}}+{q}^{2}$，利用基本不等式的性质可得最小值．利用|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$$+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}$=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+9}$，即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{c}$=1，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$=2，
不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（m，n），$\overrightarrow{c}$=（p，q）．
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=m=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=p=2，
$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=mp+nq=2+nq=1，
∴n=-$\frac{1}{q}$．
∴${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$=m²+n²+p²+q²=5+n²+q²=5+$\frac{1}{{q}^{2}}+{q}^{2}$≥5+2$\sqrt{{q}^{2}•\frac{1}{{q}^{2}}}$=7，当且仅当q=±1时取等号．
∴|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$$+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}$=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+1+2×（1+1+2）}$=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+9}$≥$\sqrt{7+9}$=4，
故选：D．

点评 本题考查了数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．