Question

4．定义在数集U内的函数y=f（x），若对任意x₁，x₂∈U都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为U上的storm函数．
（Ⅰ）判断下列函数是否为[-1，1]内storm函数，并说明理由：
①y=2^x-1+1，②$y=\frac{1}{2}{x^2}+1$；
（Ⅱ）若函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-bx+1$在x∈[-1，1]上为storm函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）逐一判定函数是否满足：对任意x₁，x₂∈U都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1即可．
（Ⅱ）依题意，若f（x）为storm函数，有f（x）_max-f（x）_min＜1，x∈[-1，1]，分类求出$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-bx+1$的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）①y=2^x-1+1是[-1，1]内storm函数，理由：y=2^x-1+1在[-1，1]上单调增，且${y_{max}}=2，{y_{min}}={2^{-2}}+1=\frac{5}{4}$，
∵$|{y_{max}}-{y_{min}}|=\frac{3}{4}＜1$，∴满足?x₁，x₂∈U，|f（x₁）-f（x₂）|＜1；（3分）
②$y=\frac{1}{2}{x^2}+1$是[-1，1]内storm函数，理由：$y=\frac{1}{2}{x^2}+1$在[-1，1]上，且${y_{max}}=\frac{3}{2}，{y_{min}}=1$，
∵$|{y_{max}}-{y_{min}}|=\frac{1}{2}＜1$，∴满足?x₁，x₂∈U，|f（x₁）-f（x₂）|＜1；（3分）
（Ⅱ）依题意，若f（x）为storm函数，有f（x）_max-f（x）_min＜1，x∈[-1，1]，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-bx+1$的对称轴为x=b．
1°若b＜-1，$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1}{2}-b+1，f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{1}{2}+b+1$，
∴$-2b＜1，b＞-\frac{1}{2}$，无解；
2°若-1≤b＜0，$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1}{2}-b+1，f{（x）_{min}}=f（b）=\frac{1}{2}{b^2}-{b^2}+1$，
∴${b^2}-2b-1＜0，1-\sqrt{2}＜b＜0$；
3°若0≤b≤1，$f{（x）_{max}}=f（-1）=\frac{1}{2}+b+1，f{（x）_{min}}=f（b）=\frac{1}{2}{b^2}-{b^2}+1$，
∴${b^2}+2b-1＜0，0≤b＜\sqrt{2}-1$；
4°若b＞1，$f{（x）_{max}}=f（-1）=\frac{1}{2}+b+1，f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2}-b+1$，∴$2b＜1，b＜\frac{1}{2}$，无解．
综上，b的取值范围为$（1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1）$．（6分）

点评 本题考查了新定义问题，及分析问题的能力、分类讨论思想的应用，属于中档题．