Question

12．已知函数g（x）=log₂x，x∈（0，2），若关于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为$（{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$．

Answer 1

分析 若|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则方程u²+mu+2m+3=0有两个根，其中一个在区间（0，1）上，一个在区间[1，+∞）上，进而得到答案．

解答 解：令t=g（x）=log₂x，x∈（0，2），
则t∈（-∞，1），
若|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，
则方程u²+mu+2m+3=0有两个根，
其中一个在区间（0，1）上，一个根为0或在区间[1，+∞）上，
若方程u²+mu+2m+3=0一个根为0，则m=-$\frac{3}{2}$，另一根为$\frac{3}{2}$，不满足条件，
故方程u²+mu+2m+3=0有两个根，
其中一个在区间（0，1）上，一个在区间[1，+∞）上，
令f（u）=u²+mu+2m+3，则$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2m+3＞0\\ f（1）=3m+4≤0\end{array}\right.$，
解得：m∈$（{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$，
故答案为：$（{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，转化思想，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，难度中档．