Question

1．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点$A（{-2，\sqrt{2}}），B（{\sqrt{6}，-1}）$；
（2）过点P（-3，2），且与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有相同的焦点．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程；
（2）由椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，求得焦点坐标，设所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-5}=1$，（a²＞5），将A（-3，2）代入椭圆方程，求得a²的值，即可求得椭圆的标准方程．

解答 解：（1）设所求的椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵椭圆经过点$A（{-2，\sqrt{2}}），B（{\sqrt{6}，-1}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+2n=1}\\{6m+n=1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{4}$，
∴所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）∵椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点为F（±$\sqrt{5}$，0），
∴设所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-5}=1$，（a²＞5），
把点（-3，2）代入，得$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}=1$，
整理，得a⁴-18a²+45=0，
解得a²=15，或a²=3（舍）．
∴所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查计算能力，属于中档题．