Question

【题目】已知椭圆左右焦点分别为，，

若椭圆上的点到，的距离之和为，求椭圆的方程和焦点的坐标；

若、是关于对称的两点，是上任意一点，直线，的斜率都存在，记为，，求证：与之积为定值．

Answer 1

【答案】，焦点，；证明见解析.

【解析】

先根据点到到，的距离之和求得，再把点代入椭圆方程求得，则可得，进而求得椭圆的方程和焦点坐标；

设点的坐标为，根据点的对称性求得的坐标，代入椭圆方程设出点的坐标，利用斜率公式分别表示出和的斜率，求得二者乘积的表达式，把式子代入结果为常数，原式得证.

解：椭圆的焦点在轴上，由椭圆上点到到，的距离之和为，

得，即.

点在椭圆上，

，得，则.

椭圆的方程为，焦点为，.

设点，则点，其中.

设点，由，，

可得，

将和代入，

得.

故与之积为定值.